如何判断传感器数据里的噪声：时域、频谱与滤波

1.1 哪些变化需要保留#

确定响应要求时，需要同时考虑探头热惯性、传感器内部滤波和软件滤波。例如探头本身已有较长的热时间常数，再增加软件平均窗口，会进一步延迟温度变化的反馈。

分析数据时，应保存时间戳、输出数据率与内部滤波配置。从 SPI 读到新数值的时刻，不一定就是它的实际采样时刻；反复读取尚未更新的寄存器，也不会增加独立观测。

1.2 原始数据中常见的四类现象#

这些只是排查方向，不能仅凭波形外观定性。比如工频经混叠后可能成为慢波动，丢失一个高字节也可能表现为尖峰。先检查通信 CRC、数据就绪标志、符号扩展和量程，再决定是否把异常值交给滤波器。

图 1：ADI MT-048，Figure 1，PDF 第 1 页。噪声密度不是一次采样的电压标准差；它描述单位带宽内的频域特性。原文

2.1 均值与标准差的适用条件#

计算噪声标准差时，应选输入近似稳定的片段。温度正在变化时，直接对整段记录减去均值，会把真实变化也计入噪声。若采用去趋势处理，需要注明模型及被去除的频率成分。

2.2 从功率谱密度到噪声有效值#

对单边功率谱密度 $S_x(f)$，单位若为 $\mathrm{V^2/Hz}$，则某频带内的噪声方差为：

若使用幅度谱密度 $e_n(f)$，单位为 $\mathrm{V/\sqrt{Hz}}$，应先平方再积分。白噪声密度近似常数时，才可写成 $\sigma=e_n\sqrt{B_{eq}}$。

图 2：MT-048，Figure 4，PDF 第 5 页。一阶模拟低通对白噪声的等效噪声带宽为 $\pi f_c/2$，约为 $1.57f_c$，大于其 -3 dB 频率。其他滤波器需按各自频响积分。原文

FFT 的一条谱线有多高，还受窗函数、记录长度和归一化方式影响。要比较噪声密度，可以使用明确归一化的 Welch PSD，并检查积分是否与时域方差大致一致；若要测单频幅值，则要处理窗的相干增益和频率泄漏。两种用途不要共用一条未经说明的“频谱幅值”。SciPy 对 Welch 方法的参数、单位和默认设置有完整定义。

2.3 低频噪声需要足够长的观察时间#

记录长度限制了可分辨的低频范围；测试链路的高通与低通又限定了参与统计的频带。因此，低频峰峰值要连同带宽和观察时间一起报告。

图 3：MT-048，Figure 2，PDF 第 3 页。原图是 OP213 的 0.1～10 Hz 输入电压噪声测量，保留了带通、增益和示波器链路。低频噪声需要规定带宽和观察时间，不能从无限长记录里要求一个固定峰峰值。

3.1 滑动平均的噪声与延迟#

长度为 $M$ 的因果滑动平均是：

若输入噪声独立、同分布，方差为 $\sigma_x^2$，输出标准差为 $\sigma_x/\sqrt M$。有相关性的噪声不满足这个关系；低频漂移、固定偏差更不会因此消失。相邻滑动平均输出还共享大量样本，不能把它们当成相互独立的新观测。

这个 FIR 的群延迟为 $(M-1)/2$ 个样本。以 1 kS/s 采样、21 点平均为例，通带群延迟为 10 ms，阶跃完全填满窗口约需 20 ms。51 点窗口能进一步平滑，却也把群延迟增加到 25 ms。

图 4：Steven W. Smith，《The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing》，第 15 章 Figure 15-1，印刷页 279。窗口加长后噪声下降，脉冲边缘同时被展宽。作者发布的章节 PDF

它的幅频响应是：

滑动平均的阻带存在旁瓣。1 kS/s 下取 20 点时，第一零点恰在 50 Hz，但工频和采样时钟的偏移会改变抑制效果。若用于降采样前的抗混叠，还需逐段检查阻带衰减。

在线实现可以维护长度为 $M$ 的环形缓冲及累加和，每次加新值、减旧值。累加器位宽要容纳 $M$ 个样本的最大和；启动时使用有效样本数作分母，或者明确等待窗口填满，避免隐含的零填充拉低输出。

3.2 一阶 IIR 的递推与参数#

常见的一阶递推为：

按连续一阶系统的极点匹配，可以选择 $\alpha=1-e^{-2\pi f_c/f_s}$。当 $f_c$ 远小于 $f_s$ 时，其离散 -3 dB 频率接近指定的 $f_c$；比例较大时应直接检查离散频率响应，不要把这个映射当成所有条件下的精确截止频率公式。

1 kS/s、10 Hz 的例子得到 $\alpha\approx0.06090$。其时间常数约为 15.9 ms，阶跃达到 90% 约需 36.6 ms。对独立白噪声，稳态输出方差为：

减小系数会降低白噪声方差，同时延长阶跃响应。实现时可用第一笔有效数据初始化 $y$；清零初始化会产生额外的启动过渡，需要屏蔽或标记。传感器掉线后，还需处理旧状态和重新稳定的过程。

4.1 一个同时约束噪声、幅值和响应时间的例子#

假设某温度采集链路以 1 kS/s 输出，稳态噪声可近似为独立白噪声，标准差为 0.08 ℃。设计要求是滤波后不超过 0.02 ℃、阶跃达到最终变化量的 90% 不超过 30 ms，并让 2 Hz 有用变化的幅值损失不超过 1%。这些是计算假设，实际传感器的热响应和内部滤波需另计。

滑动平均的噪声条件给出 $M\ge(0.08/0.02)^2=16$。16 点平均在 2 Hz 的幅值约为 0.9983，损失约 0.17%；处理 15 笔变化后的新样本便超过阶跃的 90%，计入阶跃相对采样的相位，约在 15 ms 内达到。因此它满足这组三项要求。若取 21 点，噪声标准差约为 0.0175 ℃，2 Hz 幅值约为 0.9971，仍满足要求，但延迟更长。

对一阶 IIR，噪声条件要求 $\alpha/(2-\alpha)\le1/16$，即 $\alpha\le2/17$。从旧稳态开始处理阶跃，经过 $k$ 次更新后的剩余误差比例是 $(1-\alpha)^k$；要求 30 次更新内达到 90%，得到 $\alpha\ge1-10^{-1/30}\approx0.07388$。可选 $\alpha=0.09$，此时输出噪声约为 0.0174 ℃，25 次更新内超过 90%。其离散幅频响应为：

代入 $\omega=2\pi\times2/1000$，幅值约为 0.9912，损失约 0.88%，也满足要求。两种算法在这个例子中都可用，选择还取决于存储、阻带抑制和瞬态形状。若输入含明显低频相关噪声，上面的白噪声降幅就要用实测 PSD 重新积分；若还需降采样，则必须另查新奈奎斯特频率以上的阻带衰减。

4.2 用等效噪声带宽比较不同滤波器#

对直流增益为 1 的离散滤波器，定义单边等效噪声带宽：

最后一个等号由 Parseval 关系得到，$h[n]$ 是实系数滤波器的冲激响应。对已经采样的独立白噪声，输入单边 PSD 是 $2\sigma_x^2/f_s$，积分后便得到 $\sigma_y^2=\sigma_x^2\sum h^2[n]$。这里没有把模拟输入中已经混叠的噪声还原出去。冲激响应与频率响应的对应可参考 Smith，第 9 章。

因此 21 点平均的 $B_{eq}=f_s/(2M)=23.81\ \mathrm{Hz}$；上述 10 Hz 极点匹配 IIR 的 $B_{eq}=\frac{f_s}{2}\frac{\alpha}{2-\alpha}\approx15.70\ \mathrm{Hz}$。它们对白噪声的抑制程度本来就不相同。若固定 $M=21$ 并要求两者带宽相等，解得 $\alpha=2/(M+1)=0.09091$；该 IIR 的极点时间常数约为 10.49 ms，低频群延迟为 $(1-\alpha)/\alpha=10$ 个样本。低频延迟此时相同，仍不意味着全频带相位、阶跃形状或工频抑制相同。

实现后，可以用频响数值积分、冲激响应平方和、白噪声方差比三种方法核对结果。若相差一倍，先查单边/双边 PSD 和积分区间；若相差一个采样率，则查频率轴用的是 Hz 还是弧度/样本。

5.1 明确输入与计算条件#

本文合成 6 秒、1 kS/s 的温度序列：基线 25 ℃，叠加 2 Hz、幅值 0.15 ℃ 的真实变化；3 秒时基线提高 0.5 ℃；测量中另加标准差 0.08 ℃ 的白噪声、幅值 0.06 ℃ 的 50 Hz 干扰，以及 2.1 秒处一个 0.8 ℃ 尖峰。随机种子固定为 240。

下图沿用 21 点平均和 $\alpha\approx0.06090$ 的 IIR，用于展示不同瞬态；它不是上一节 $\alpha=0.09$ 设计例的仿真结果。

5.2 同时观察瞬态和频谱#

图 5：上图为孤立尖峰的响应，下图为温度阶跃的响应。曲线按因果滤波计算，输出保留实际延迟。

图 6：左图用阶跃前的 2 秒数据减去已知模型真值，再计算 Welch PSD；右图用离散传递函数计算响应。真实测量通常没有已知真值，必须另选稳态片段或参考测量。

这组参数的等效噪声带宽不同，残余噪声也不同。比较两种算法时，可以固定允许延迟、通带误差或等效噪声带宽中的一项，再考察其余指标。

6.1 尖峰是否属于真实事件#

一个尖峰会被平均滤波摊到整个窗口里；IIR 则会留下衰减尾巴。短窗口中值滤波对孤立脉冲更有针对性，但它是非线性的，会改变窄脉冲和快速阶跃。若系统需要检测碰撞、过流或突发温升，把真实事件判成异常值会造成漏报。可以保留原始通道，用独立的异常标志记录被拒绝的样本，而不要静默覆盖。

6.2 漂移与测量模型#

慢漂移则应同步检查传感器自热、供电、板温、环境和安装条件。白噪声可因平均减少，偏置和漂移需要校准、补偿或更合适的测量模型。卡尔曼滤波可以利用状态模型，但若把漂移错误地当成零均值白噪声，调参数也不能自动纠正模型。

在反馈系统中，还应把滤波器算进环路。滤波引入的相位滞后可能降低稳定余量，相关讨论可与 PID 文章对照。显示用的慢滤波不必与控制和保护路径共用一套输出。

6.3 样本相关性与长时间稳定性#

对弱平稳噪声，记自协方差为 $\gamma[k]$，长度为 $M$ 的均值方差是：

独立样本的非零延迟协方差为零，才退化成 $\sigma_x^2/M$。传感器自身的数字滤波、模拟低通和软件滑动平均都会让相邻样本相关，所以“读取了 1000 次”不等于“获得 1000 个独立观测”。应记录原始输出速率与内部滤波配置，用稳态数据估计相关时间；估计所用记录也要足够长。NIST 对相关测量与 Allan 方差的讨论说明了普通独立样本公式失效的原因。

若关心“平均多久最划算”，可把稳定输入的长记录分成持续时间为 $\tau$ 的相邻块，以 $\sigma_A^2(\tau)=\tfrac12 E[(\bar x_{k+1}-\bar x_k)^2]$ 观察不同平均时间下的稳定性。对白噪声，Allan 偏差通常随 $\tau^{-1/2}$ 下降；真实漂移或低频扰动存在时，继续平均未必继续改善。它测的是随时间尺度变化的稳定性，不是绝对准确度，也不能单凭某一斜率认定唯一物理噪声源。报告时应写清重叠与否、死区、采样间隔和记录长度；长 $\tau$ 下可用差分数量减少，曲线的不确定度会变大。NIST SP 1065提供了估计器与报告方法，其主要对象是频率稳定性，移用于温度等传感器时需保留实际量纲和测量模型。