从黏性流到分子流：气体在高压、常压与真空下怎样流动

一根管道接在压缩空气储罐上，气体沿压差流向出口。把它接到真空腔体与泵之间，气体也会从压力较高的一端流向较低的一端。两种情况看起来相似，计算方法却可能完全不同：前者通常需要考虑黏性、湍流或可压缩效应，后者在足够低的压力下，要计算分子撞壁后穿过管道的概率。

改变计算方法的原因，在于分子之间的碰撞是否足以维持局部平衡，以及这种平衡在壁面附近还能保持到什么程度。同一套装置从大气开始抽气，便可能依次经历无滑移黏性流、滑移流、过渡流和分子流。压力在变，适用的方程与边界条件也随之改变。

本文的主线不是某一本真空手册，而是流体力学与气体动理论之间的模型衔接。连续流部分以守恒定律、牛顿本构关系和可压缩流理论为基础；滑移和过渡流部分参照 Maxwell 的原始边界思想、Cercignani 与 Kogan 的稀薄气体理论，以及 Sharipov 对内流问题的综述；分子流部分采用 Bird 的分子气体动力学框架和真空工程中的流导定义。文末列出这些专业来源，方便继续查阅。用户提供的 Pfeiffer 手册只作为真空工程背景和少量图源，本文的公式、判据和例算不依赖其章节顺序。

先把问题说清楚：压力本身不是流态标签。决定方程的，是平均自由程与几何尺度的比值（Knudsen 数）、惯性与黏性的比值（Reynolds 数）、流速与声速的比值（Mach 数），以及壁面究竟如何交换动量和能量。下面按这三个无量纲数组织内容，而不是按“常压、负压、真空”做目录。

1. 从压力读数走到流动模型#

1.1 高压、负压和真空使用了不同的参照#

普通压力表以当地大气为零点，读出的是表压；气体状态方程和平均自由程使用绝对压力。两者关系为：

p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{gauge}}+p_{\mathrm{atm}}

例如，当外界压力为 101.325 kPa 时，表压 −80 kPa 对应 21.325 kPa 绝压。这个读数表示低于周围大气，气体仍然对容器壁施加正的压力。工程中所说的“负压系统”，在这个意义上也属于真空系统。

因此，高压、常压、负压与真空并不是四种彼此分离的物态。高压通常表示高于环境压力；常压是环境条件的近似；负压描述相对于环境的压差；真空则覆盖很宽的低于大气压的范围。它们适合描述工况，但不足以决定方程。

后文未注明“表压”的压力均为绝对压力。单位换算采用 $1\ \mathrm{bar}=10^5\ \mathrm{Pa}$ 、 $1\ \mathrm{mbar}=1\ \mathrm{hPa}=100\ \mathrm{Pa}$ 。标准大气压为 101325 Pa，当地大气压则会随海拔与天气变化。

1.2 压力降低，分子变少，平均自由程变长#

对于处于热平衡的稀薄理想气体：

p=n_N k_B T,\qquad \rho=\frac{p}{R_sT}

这里 $n_N=N/V$ 是分子数密度， $R_s=R/M$ 是比气体常数。温度一定时，压力与数密度、质量密度成正比。

气体动理论中，平均自由程来自碰撞截面与数密度。以硬球模型为例：

\lambda=\frac{k_BT}{\sqrt{2}\,\pi d_m^2p}

$d_m$ 是有效碰撞直径，不能与后文的管径混用。不同碰撞模型、分子势函数和平均自由程定义会给出略有差别的数值。工程估算可用低压空气的 $\lambda p$ 常数，但在高压、低温或强非平衡条件下，应改用输运截面或状态方程计算。本文 20 °C 的数值只用于数量级演示：

\lambda\approx\frac{7.19\times10^{-3}}{p}\ \mathrm{m} \quad\text{（20 °C 空气，}p\text{ 以 Pa 计）}

图 1：真空工程资料中的数量级关系。原图为 273.15 K 氮气，并非本文表格采用的 293.15 K 空气；这里保留它作为背景图，不把图上的经验线当作气体动理论的推导。图源手册

压力降低并不直接意味着分子的热运动变慢。平均热速率 $\bar c=\sqrt{8R_sT/\pi}$ 主要由温度和气体种类决定；20 °C 空气约为 463 m/s。管内平均流速 $U$ 则是大量分子速度的定向平均，两者不能混用。

1.3 Kn、Re、Ma 分别回答什么问题#

参数	定义	用来判断的问题
Knudsen 数	$Kn=\lambda/L_c$	相对于几何或梯度尺度，分子碰撞是否足够频繁？
Reynolds 数	$Re=\rho U L_c/\mu$	惯性与黏性作用的相对强弱如何？连续流是否可能转捩？
Mach 数	$Ma=U/a$	流速相对于声速有多大？可压缩效应是否显著？

三者需要结合使用。低雷诺数不保证连续介质成立；低 Kn 也不保证可以忽略压缩性。对于圆管，常取内径作为特征长度；平行板滑移算例中，本文明确取完整间隙 $H$ 。若局部密度或温度变化很快，还要检查相应的梯度尺度，不能只看容器外形尺寸。

按上述空气模型计算，同一根内径 10 mm 的管道会得到：

绝对压力	平均自由程	$Kn=\lambda/D$	按本文分区作初步判断
1 MPa	约 7.2 nm	$7.2\times10^{-7}$	连续流，需另查真实气体偏差
101.325 kPa	约 71 nm	$7.1\times10^{-6}$	连续流
21.325 kPa	约 0.34 μm	$3.4\times10^{-5}$	仍为连续流
100 Pa	约 72 μm	0.0072	接近无滑移连续流分区上界
1 Pa	约 7.2 mm	0.72	过渡流
0.01 Pa	约 0.72 m	72	自由分子流近似通常合适

最后两行不能继续套用普通无滑移管流公式。反过来，21.325 kPa 虽然对应 −80 kPa 表压，对这根管道来说却远未进入分子流。

图 2：本文按平均自由程近似绘制。1 μm 间隙在常压附近已经需要考虑滑移；10 mm 管道则仍是连续介质。高压端延长线仅用于数量级比较，未加入真实气体修正。

2. 连续介质：黏性流与 Navier–Stokes 方程#

2.1 连续介质与局部平衡#

在 $Kn\ll1$ 时，可以找到这样的统计体积：它相对于装置足够小，内部又包含足够多的分子。于是密度、速度和温度能够写成随位置与时间变化的场。

分子不断跨越相邻流层，携带动量。宏观上，这种动量输运表现为黏性应力。对牛顿流体，剪切应力与速度梯度有关；“黏性流”也常被真空工程用来指与分子流相对的连续流区域，其中既可能有层流，也可能有湍流。

层流中的“流层”描述平均运动。即使宏观流线平顺，分子仍进行随机热运动并持续碰撞，不能把层流理解成每个分子都沿着平行直线前进。

2.2 可压缩 Navier–Stokes 方程组#

对单组分、单相、局部平衡的牛顿流体，质量守恒为：

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0

动量守恒为：

\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right) =-\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol\tau+\rho\mathbf g

其中左侧是单位体积流体的惯性项，右侧依次是压力梯度力、黏性应力和体积力。一般的各向同性牛顿流体应力可写成：

\boldsymbol\tau=\mu\left[\nabla\mathbf u+(\nabla\mathbf u)^T -\frac23(\nabla\cdot\mathbf u)\mathbf I\right] +\zeta(\nabla\cdot\mathbf u)\mathbf I

$\mu$ 为剪切黏度， $\zeta$ 为体积黏度。采用 Stokes 假设时令 $\zeta=0$ ；对涉及分子内能弛豫、声学衰减等问题的气体，不能把这个假设视为普遍精确关系。

当密度、黏度近似为常数且 $\nabla\cdot\mathbf u=0$ 时，动量方程才简化为常见形式：

\rho\frac{D\mathbf u}{Dt}=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u+\rho\mathbf g

NS 方程可以描述可压缩气体；“NS 方程只适用于不可压缩流”是把这个简化式当成了完整方程组。这个层次的理论应查阅标准流体力学教材，而不是只看真空工程网页：White 的 Fluid Mechanics、Anderson 的 Modern Compressible Flow 和 NASA 的方程说明分别覆盖不可压缩黏性流、可压缩流与工程形式。

从微观理论看，NS 方程并不是与 Boltzmann 方程平行的另一套自然定律。对单分子分布函数 $f(\mathbf x,\mathbf v,t)$ 做 Chapman–Enskog 小 Kn 展开，零阶项是局部 Maxwell 平衡分布，一阶非平衡项给出 Fourier 热流和 Newton 黏性应力；把这些通量代回守恒方程，才得到 Navier–Stokes–Fourier 方程。这个推导解释了两个工程事实：黏度和导热系数是碰撞模型的宏观结果；Kn 增大时高阶项不能再忽略，单纯修改壁面速度并不能修复整个体内分布函数。

2.3 为什么还需要能量方程与状态方程#

对于温度变化显著的流动，还要计算内能。忽略化学反应和额外体热源时：

\rho\frac{De}{Dt}=-p\nabla\cdot\mathbf u +\boldsymbol\tau:\nabla\mathbf u-\nabla\cdot\mathbf q, \qquad\mathbf q=-k\nabla T

$e$ 是单位质量内能， $k$ 是导热系数。压缩功、黏性耗散和热传导都会改变温度，温度又影响密度、黏度与声速。再配合状态方程 $p=p(\rho,T)$ 和相应物性关系，方程组才闭合。

等温微通道可以在充分换热的条件下省去显式温度求解；快速压缩、高速喷流和强温差流动通常不能这样处理。边界上还需要给定入口、出口和壁面的条件，单有 NS 方程并不能确定流量。

2.4 无滑移壁面与泊肃叶流#

普通静止固壁常采用无穿透、无滑移条件，即壁面处流体的法向速度为零，切向速度等于壁面速度。对于低 Kn、等温、稳态、充分发展的圆管层流，在密度变化可以忽略时，有：

u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu\ell}(R^2-r^2),\qquad Q_V=\frac{\pi D^4}{128\mu\ell}\Delta p

这里 $\ell$ 为管长， $D=2R$ 为内径。这是抛物线速度剖面和 Hagen–Poiseuille 关系。管径的四次方依赖建立在层流、无滑移等条件上，不能直接用于湍流或分子流。

如果仍满足连续、无滑移、局部低马赫数的长管层流条件，但沿管密度变化已经不可忽略，等温理想气体积分后得到的是 $pV$ 流量：

q_{pV}=\frac{\pi D^4}{256\mu\ell}(p_1^2-p_2^2)

这与恒密度体积流量公式不是同一个量。使用前还要沿管检查 Kn 和 Ma；出口附近一旦进入滑移或高速区域，不能仅因入口符合条件就把公式用到底。

3. 高压流态：层流、湍流与可压缩流分别判断#

3.1 高压增加密度，不直接规定流态#

在温度不变、理想气体近似成立时，提高压力会增加密度、缩短平均自由程。对毫米至厘米级通道，这通常让连续介质近似更充分。

同时，在流速与管径相同、黏度近似不变的比较下， $Re$ 随密度增加。例如 20 °C、内径 10 mm、平均流速 1 m/s，取 $\mu=1.81\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\,s}$ ，可得：

绝对压力	理想气体密度估算	Reynolds 数
20 kPa	0.238 kg/m³	约 131
101.325 kPa	1.204 kg/m³	约 665
1 MPa	11.88 kg/m³	约 6566

对常见光滑圆管，约 2300 与 4000 可作为层流、转捩区和湍流的工程参考；入口扰动、粗糙度和几何形状都会影响转捩。表中是相同流速的对照，不能把“升压使 Re 增大”推广到所有控制条件：若保持同一圆管中的质量流量不变，则 $Re=4\dot m/(\pi D\mu)$ ，密度项已经消去。

图 3：本文理想气体比较模型， $T=293.15\ \mathrm K$ 、 $D=10\ \mathrm{mm}$ ，固定黏度。圆管转捩参考区不适用于所有几何；高压工程计算仍需核对实际物性。

图 4：根据 Kogan、Cercignani 和 Bird 的模型层次绘制的工程选择图。Kn 轴决定连续介质近似能否成立，Ma 轴决定能否把密度变化和能量方程省略；两条轴互相独立。色带边界不是严格相变线，最终仍要看目标量的误差要求。

3.2 湍流仍然属于连续介质问题#

湍流并不表示 NS 方程失效。困难在于速度与压力存在宽范围的时空波动，直接解析全部尺度的计算代价很高。工程中常采用 RANS 或 LES，其中需要额外处理未解析尺度产生的应力。

以 RANS 为例，平均方程会出现 Reynolds 应力 $-\rho\overline{u_i'u_j'}$ ，需要湍流闭合模型。把物性中的分子黏度随意增大，并不能替代这些模型。NASA Wind-US 的模型说明可用于了解常用闭合方法。

3.3 高压不一定高速，常压入口也可能阻塞#

低速储气罐内部可以近似静止；气体经小孔流入真空腔体时，却可能出现很大的速度和密度变化。判断时需要同时看 Ma 和沿程压力、温度变化。 $Ma\lesssim0.3$ 常用于初步筛查弱压缩效应，但对于具有较大压比的长管，仍应检查密度变化。

对定比热理想气体、绝热等熵的收缩喷嘴，固定上游总压 $p_0$ 、总温 $T_0$ 和喉部面积 $A_*$ ，临界压比为：

\frac{p_*}{p_0}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}

取空气 $\gamma=1.4$ ，得到约 0.528。背压低于临界值后，喉部达到 $Ma=1$ ，理想阻塞质量流量为：

\dot m_*= A_*p_0\sqrt{\frac{\gamma}{R_sT_0}} \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

图 5：依据 NASA 等熵关系与质量流量关系绘制，纵轴用阻塞流量归一化。实际孔口还涉及流量系数、边界层与局部稀薄效应。

若上游是接近静止的标准大气，理想临界背压约为 53.5 kPa 绝压。这说明向负压腔体进气时，即使上游没有高压气瓶，也可能发生阻塞。阻塞表示固定上游条件下继续降低背压，质量流量不再增加；它不表示气体停止流动，也不限制喷嘴下游膨胀区的速度一定低于声速。

3.4 更高压力下要核对真实气体#

高压气体可以仍是连续介质，同时明显偏离理想气体。常用压缩因子表示为：

p=Z\rho R_sT

$Z$ 是状态的函数。不能只修正密度，却继续默认黏度、比热、声速和导热系数都与低压相同；这些物性应按气体、压力与温度查询。NIST REFPROP提供相应的状态方程与输运物性模型。

是否液化还取决于温度和相平衡。例如氮的临界温度约为 126.2 K，远低于室温；在室温下单靠等温加压，不会跨越气液共存线形成通常意义的液化。二氧化碳的临界点则约为 304.1 K、7.38 MPa，室温压缩时需要特别检查相区。相关数值见 NIST 的氮气和二氧化碳数据。

4. Maxwell 滑移：体内还能用 NS，壁面条件先要改变#

Maxwell 的贡献不是给出一个“真空专用公式”，而是指出了连续介质解与分子—壁面作用之间的边界层问题。现代稀薄气体理论通常把它放在 Chapman–Enskog 展开和 Knudsen 层匹配的语境中：外部区域仍可用 NS，壁面附近的非平衡效应则通过滑移、温度跳跃和热蠕流边界条件反馈回来。Cercignani 的 Rarefied Gas Dynamics 和 Sharipov 的综述对这些系数的推导、气体—表面模型及实验差异有更完整的讨论。

4.1 Knudsen 层出现在哪里#

降压或缩小通道后，分子从壁面反射出来，可能尚未来得及经过足够多的分子间碰撞就到达通道另一侧。壁面附近约若干平均自由程厚度内，分布函数偏离局部平衡，这一区域称为 Knudsen 层。

滑移流处理中，通常不直接用 NS 方程解析这层内部的非平衡结构，而是求解外部连续区域，并把它外推到几何壁面，以滑移边界描述壁面效应。这里的“壁面气体速度”因此是连续场的外推值，不是某个分子的瞬时速度。COMSOL 的滑移流说明区分了这两层含义。

4.2 Maxwell 气体—壁面模型与动量适应系数#

Maxwell 模型把反射分为镜面与漫反射两部分。镜面反射保留相对于壁面的切向动量；理想漫反射则按壁面状态重新分布出射速度。切向动量适应系数 TMAC，本文记为 $\sigma_t$ ，描述入射分子与壁面交换切向动量的程度。

图 6：本文绘制的壁面反射示意。只有在这种镜面—完全漫反射混合模型中，TMAC 才可直接对应漫反射比例；真实表面的适应行为还受气体种类、温度、粗糙度与污染影响。右图的箭头用于示意出射方向，不是等概率粒子统计。

当 $\sigma_t=1$ 时，切向动量充分适应； $\sigma_t$ 较小时，壁面对定向运动的约束较弱，滑移通常更明显。即使完全漫反射，有限 Kn 下仍可能出现宏观滑移，不能把 $\sigma_t=1$ 等同于无滑移。

4.3 一阶 Maxwell 滑移条件#

对于静止、平直、不透气壁面，等温且没有沿壁温度梯度时，采用一种常见的一阶 Maxwell 写法：

u_{g,t}-u_{w,t}=b\frac{\partial u_t}{\partial n}, \qquad b=\frac{2-\sigma_t}{\sigma_t}\lambda

这里 $n$ 指向气体内部， $b$ 是滑移长度；法向仍满足无穿透。速度梯度沿这个法向定义，换成外法向时需要同步改变符号。

公式中的系数必须与平均自由程定义成套使用。若文献采用不同的黏度型平均自由程，或对 Knudsen 层进行更精细匹配，滑移系数可能另带修正因子。本文图 6 采用的就是上式，不把它当作任意软件模型的精确参数。COMSOL 的理论说明特别提醒了这一换算问题。

形式上，当 $\sigma_t$ 趋近零，上式会给出越来越大的滑移长度。这不意味着它能可靠描述任意稀薄程度：一阶滑移建立在小 Kn 渐近近似上，必须先满足其适用条件。

4.4 用平行板算出滑移带来的流量变化#

设两块静止平板间距为 $H$ ，坐标 $y\in[-H/2,H/2]$ 。气体等温，流动充分发展，选取沿程压降很小的局部片段，使密度与黏度近似不变。令 $G=-dp/dx>0$ ，切向动量方程简化为：

\mu\frac{d^2u}{dy^2}=-G

两侧使用相同滑移长度 $b$ ，积分得：

u(y)=\frac{G}{2\mu}\left[\left(\frac H2\right)^2-y^2+bH\right]

单位宽度体积流量为：

Q'_V=\frac{GH^3}{12\mu}\left(1+\frac{6b}{H}\right), \qquad\frac{Q'_V}{Q'_{V,0}}=1+6\frac{b}{H}

平行板无滑移和Maxwell滑移速度剖面及流量比较

图 7：本文解析计算。固定同一压强梯度、间隙与黏度，取 $Kn=\lambda/H=0.02$ 。 $\sigma_t=1$ 时流量增加 12%； $\sigma_t=0.8$ 时增加 18%。各曲线共用无滑移中心速度作为归一化基准，因此能直接比较流速。

滑移后，外推到壁面的切向速度不再为零；在这个局部模型中，剖面的曲率并没有改变，而是在抛物线基础上增加一个速度偏置。若比较的是固定流量工况，变化应表现为所需压降降低。对于大压比微通道，还要沿程处理 $\rho(p)$ 、 $\lambda(p)$ 与滑移长度的变化，不能直接套用这张局部剖面图。

4.5 一阶和二阶滑移不是两个“真空等级”#

文献中常见的一阶边界条件可写成 $u_s\propto Kn$ ；当 Kn 更大时，有人会在拟合中加入 $Kn^2$ 项。但二阶项是 Chapman–Enskog 渐近展开和气体—壁面散射核共同决定的系数，不是把一阶公式里的 6 随意换成更大的经验常数。Cercignani–Lampis 边界、漫反射 Maxwell 边界和真实表面吸附会给出不同的系数；更换平均自由程定义，数值也会随之变化。

图 8：左图是 Maxwell 一阶模型的 $b/\lambda$ 与 TMAC 关系；右图只画出一阶、二阶多项式的增长趋势，不是线性化 Boltzmann 方程的精确解。进入 $Kn\gtrsim0.1$ 后，继续增加多项式阶数不等于得到了可靠的过渡流模型，应改用 BGK、线性化 Boltzmann 或 DSMC，并用实验/基准解校核。

4.6 有温差时还要处理热滑移与温度跳跃#

前面的边界只保留黏性滑移。壁面沿切向存在温度梯度时，还可能产生热蠕流；法向有热流时，外推气体温度与壁温之间会出现温度跳跃。这需要引入热适应系数及相应的温度边界条件。

切向动量充分适应与能量充分适应不是同一个条件。对带加热器的微通道、真空计热丝或非等温狭缝，直接令气体温度等于壁温，可能抹去要研究的物理效应。系数与平均自由程的选取同样需要一致，可结合 COMSOL 的壁面参数说明检查。

5. 过渡流：不能把滑移修正无限延伸#

5.1 两套分区为何看起来不一样#

图 9：真空工程资料中的流态示意。不同教材对过渡区边界的取值并不完全一致；这里的图只用来建立直觉，实际模型仍应按局部 Kn、边界条件和目标量验证。

本文讨论数值建模时，采用以下较细的常用分区：

Kn 范围	常用名称	典型模型起点
$Kn<0.01$	连续流	NS 方程，通常先考虑无滑移壁面
$0.01<Kn<0.1$	滑移流	NS 方程加速度滑移、必要时加温度跳跃
$0.1<Kn<10$	过渡流	含分子间碰撞的动理学模型
$Kn>10$	自由分子流	忽略分子间碰撞，处理飞行与壁面作用

这些是模型选择的参考界限，数值相等处没有物理突变。手册采用较粗的真空工程分区，不能把原图中的 $Kn>0.5$ 直接当作“所有问题都可忽略碰撞”的精度保证。上表对应 COMSOL 的流动区域划分。

图 10：压力和通道尺寸共同决定流态的工程示意。它不是普适的相图；气体种类、温度和特征长度改变时，边界会移动。

5.2 过渡区需要保留分布函数和碰撞项#

当 Kn 继续增大，非平衡效应不再局限于一层很薄的近壁区域。仅修正壁面速度，无法补偿 NS 本构关系与局部平衡近似的偏差。

气体动理学使用分布函数 $f(\mathbf x,\mathbf v,t)$ 描述位置和分子速度空间中的分子分布。无外力时，Boltzmann 方程为：

\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf v\cdot\nabla_{\mathbf x}f =\mathcal C[f]

右侧 $\mathcal C[f]$ 是分子间碰撞项。过渡区内，碰撞还不能忽略，分布又可能明显偏离局部 Maxwell 分布，所以既不能直接用无滑移 NS，也不能直接删掉碰撞项。

BGK 模型以向局部平衡分布弛豫的形式近似碰撞项：

\mathcal C[f]\approx\frac{f_{\mathrm{eq}}-f}{\tau_c}

实际计算可采用相应的离散速度方法，或在适当条件下采用 DSMC。不同实现对流速、温差、气体种类和统计误差有各自限制。例如 COMSOL 的过渡流接口采用 Boltzmann–BGK 模型，并明确限制了其热流动能力；不能只按模块名称判断它适合任何真空工况。

5.3 仿真时，先选方程再选软件#

仿真软件不是流态模型。连续流 CFD 通常用有限体积或有限元离散 NS 方程；低速等温问题可以使用压力基求解器，高速可压缩问题则需要密度基或能量一致的压力—速度耦合。网格应解析入口发展段、激波、孔口边缘和 Knudsen 层外部梯度；把壁面网格无限加密，并不会自动得到正确的滑移系数。

进入滑移区时，常见做法是 NS 加 Maxwell 速度滑移和温度跳跃边界。Cercignani–Lampis 则是动理学求解器中的气体—表面散射核；若将其用于连续模型，需要先推导一致的滑移与跳跃系数。此时应做网格无关性、时间步长无关性和 TMAC 敏感性分析，至少报告 $Kn$ 、气体温度、壁面材料及平均自由程定义。若压力沿程变化很大，滑移长度 $b\propto\lambda(p,T)$ 也随位置变化，不能在整个壁面上填一个常数。

过渡流可用离散速度法（DVM）、BGK/Shakhov 模型或线性化 Boltzmann 求解器。速度空间截断、离散速度数目和碰撞松弛时间会影响热流与壁面通量；只验证宏观压力降，不足以证明温度跳跃或壁面剪切力可靠。

DSMC 则直接推进代表性分子的位置和速度，并在每个碰撞单元中随机配对碰撞。Bird 给出的基本约束是：单元尺寸应小于局部平均自由程，时间步长应小于局部平均碰撞时间，每个单元需要足够多的模拟分子以降低统计噪声。DSMC 的计算量随密度降低并不会简单消失，因为为了得到稳定的平均量，仍需足够长的采样时间；在近连续流区域直接使用 DSMC 往往代价很高。

连续 CFD、DVM/BGK 与 DSMC 可以做区域耦合，但接口处需要一致地传递质量、动量和能量，而不是只拼接一个压力。Garcia 等人的 AMAR 方法把 DSMC 区域嵌入可压缩 NS 求解器，是这种连续—粒子混合计算的具体实例。滑移模型可对照 Hadjiconstantinou 的验证研究，同时检查其低速、线性化条件与 Knudsen 层处理，不能把论文中的适用范围直接搬到大压比工况。工程上应先使用平面 Poiseuille 流、圆管流导或激波结构等匹配工况的基准问题验证求解器。

6. 分子流：流量由入射通量和穿透概率决定#

6.1 从分子间输运转向分子—壁面输运#

当平均自由程远大于通道尺寸，分子在飞到壁面之前很少与其他分子碰撞。此时主要计算分子的自由飞行、撞壁、反射、吸附和再次释放。

删去碰撞项后，在无外力条件下：

\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf v\cdot\nabla_{\mathbf x}f=0

这不表示没有流量或没有壁面动量交换。它表示不能再靠普通牛顿黏性应力和无滑移速度场来闭合输运问题。CERN 的 Molflow+ 教程介绍了用于分子流计算的测试粒子蒙特卡罗方法：跟踪独立粒子的路径，统计到达各表面的通量。

6.2 为什么小孔流导是 $A\bar c/4$ #

对两侧温度相同、各自近似为各向同性热平衡分布的储气空间，单位面积单向入射通量为：

J=\frac14n_N\bar c

因而薄孔两侧存在双向分子流。两者相减，并用 $p=n_Nk_BT$ 换算，得到净 $pV$ 流量：

q_{pV}=\frac{A\bar c}{4}(p_1-p_2),\qquad C_{\mathrm{orifice}}=\frac{A\bar c}{4}

20 °C 空气的薄孔流导约为 $11.6A\ \mathrm{L/s}$ ，其中 $A$ 以 cm² 计。这个结果要求孔足够薄、两侧均满足分子流条件，且没有额外吸附或遮挡。若高压气源通过孔口进入真空，不能因下游真空就把整个孔口按分子流处理。推导可对照 CERN 的 Vacuum I。

这里的 $p=n_Nk_BT$ 用于所假设的储气空间；对任意强非平衡、方向性很强的分布，压力可能需要用动量通量张量描述，不能总把一个标量压力等同于完整状态。

6.3 长管流导为何与管径三次方有关#

管道有长度后，进入入口的分子未必从另一端出去。对温度均匀、圆截面、漫反射长管，穿透概率近似为：

\mathcal P\approx\frac{4D}{3\ell},\qquad \ell\gg D

将它乘以入口薄孔流导，得到 20 °C 空气的常用长管近似：

C_{\mathrm{tube}}\approx12.1\frac{D^3}{\ell}\ \mathrm{L/s} \quad\text{（}D,\ell\text{ 以 cm 计）}

分子流长管的流导与平均压力近似无关，对同一几何随 $\sqrt{T/M}$ 缩放。弯头、短管、挡板或不同壁面反射条件，应重新求穿透概率，不能只把管长代进去。

图 11：真空工程资料中的流导示意。分子流端近似与压力无关，黏性流端则随压力变化；中间区域不能把任一端的渐近公式直接外推。这不是所有管道共用的一条定量曲线。

6.4 细管可以把大泵的有效抽速限制得很低#

设一根直管内径 1 cm、长度 100 cm，气体为 20 °C 空气，全管满足分子流条件，暂不计入口附加阻力和管壁放气：

C\approx12.1\frac{1^3}{100}=0.121\ \mathrm{L/s}

即使泵口抽速为 100 L/s，腔体处有效抽速也只有：

\frac1{S_{\mathrm{eff}}}=\frac1S+\frac1C, \qquad S_{\mathrm{eff}}\approx0.1209\ \mathrm{L/s}

若腔体稳定气体负荷为 $10^{-6}\ \mathrm{Pa\,m^3/s}$ ，忽略泵的本底压力，则腔压约为：

p\approx\frac{q_{pV}}{S_{\mathrm{eff}}} \approx8.27\times10^{-3}\ \mathrm{Pa}

此处换算了 $1\ \mathrm{L/s}=10^{-3}\ \mathrm{m^3/s}$ 。用所得腔压回算， $\lambda/D\approx87$ ；管内压力向泵端进一步降低，因而分子流假设在这个算例中自洽。若增加进气量使腔压升高，则必须重新检查，不能继续默认同一流导模型。有效抽速的串联关系也可参考 Leybold 流导计算说明。

7. 一套装置从常压抽到高真空，会发生什么#

7.1 同一条气路可以同时存在不同区域#

抽气初期，普通尺寸的管路通常处于连续流区域；流量大时可能出现湍流、压缩性和局部阻塞。随着压力下降，近壁滑移逐渐重要，再往下便进入过渡流和分子流。

对前面的 10 mm 空气管道，本文分区对应的大致压力为： $Kn=0.01$ 时约 72 Pa， $Kn=0.1$ 时约 7.2 Pa， $Kn=10$ 时约 0.072 Pa。这些数值由温度、气体和管径共同决定，不是通用的真空等级边界。

沿程压降还会使入口与出口处于不同区域。一只真空腔体连接高压进气口时，上游可以是连续可压缩流，下游逐渐成为稀薄流；不能给整套模型只贴一个“真空流动”标签。

7.2 降压不等于黏度按比例消失#

在适用的稀薄、连续介质范围内，同温气体的动力黏度 $\mu$ 对压力通常不敏感。分子数变少的同时，平均自由程增加，两者对动量输运的影响大致抵消。运动黏度 $\nu=\mu/\rho$ 则会随密度降低而增大。

进入稀薄区后，气体跨越有限间隙的导热能力会下降，但这不能简单归结为把连续介质导热系数按压力同比缩小。壁面温度跳跃、能量适应程度和间隙尺寸都参与其中。真空降低气体导热与对流后，固体支撑导热和热辐射仍然存在；这也是 Pirani 真空计利用热损失随压力变化测量真空的基础。

7.3 高真空中的气体来源会改变#

抽气后期，腔内气体不一定仍保持空气的原始比例：表面释放的水、金属内部扩散出的氢、工艺气体和泄漏都可能成为主要负荷。这是表面科学、真空材料学和残余气体分析的问题，不能仅靠流动方程解释。

图 12：真空工程资料中的典型残余气体谱示意。质量数 28 可能同时包含氮和一氧化碳；单个峰不能独立证明某一种泄漏，需要结合其他峰、裂解规律及仪器响应判断。

对固定体积、近似等温的腔体，采用集中参数模型可写为：

V\frac{dp}{dt}=q_{\mathrm{in}}+q_{\mathrm{des}}+q_{\mathrm{leak}} -S_{\mathrm{eff}}(p)p

只有在有效抽速恒定、气体负荷可以忽略等条件下，才得到简单的指数降压。实际降压曲线出现拖尾时，需要同时检查管路流导、泵的抽速曲线、壁面放气和泄漏。第一章的这些内容，把理想的流动模型与实际设备连接了起来。

8. 计算前如何选择方程#

要计算的工况	先检查什么	建模起点
高压储气与低速输送	相区、真实气体偏差、温升、Re	连续介质 NS，配合合适状态方程和物性
大流量高压管路	Re、粗糙度、入口发展段、密度变化	可压缩管流，按需要采用湍流模型
气体经孔口进入负压腔体	上下游绝压比、喉部 Ma、局部 Kn	可压缩孔口或喷嘴模型，检查阻塞
常压微间隙或低压细通道	以真实间隙计算 Kn，检查壁面温差	NS 加 Maxwell 滑移及必要的温度跳跃
过渡区通道	非平衡范围、碰撞模型、速度和温度条件	含碰撞的气体动理学方法
高真空管路与挡板	全通路 Kn、气体种类、壁面反射与吸附	分子流流导或独立粒子统计

建模时先把表压换为绝压，再用局部温度、气体组成和尺寸估算 Kn。连续流范围内继续检查 Re、Ma 与物性，滑移区核对壁面模型，过渡区和分子流则转向相应的动理学描述。压力读数提供了起点，模型的选择还取决于气体在装置里怎样交换动量与能量。

参考资料与图源#

White, F. M., Fluid Mechanics, 8th ed., McGraw-Hill, 2016。黏性应力、内流、边界层和管流的标准教材。
Anderson, J. D., Modern Compressible Flow: With Historical Perspective, 3rd ed., McGraw-Hill, 2003。可压缩 Navier–Stokes、声速、等熵喷嘴和阻塞流。
Maxwell, J. C., “On Stresses in Rarefied Gases Arising from Inequalities of Temperature”, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 170 (1879), 231–256. 原始论文 DOI。气体—壁面动量交换与滑移思想的历史来源。
Kogan, M. N., Rarefied Gas Dynamics, Plenum Press, 1969. Springer 书目。从 Boltzmann 方程到小、大 Kn 流动的系统论述。
Cercignani, C., Rarefied Gas Dynamics: From Basic Concepts to Actual Calculations, Cambridge University Press, 2000；另见 Slow Rarefied Flows, Birkhäuser, 2006. Springer 书目。Knudsen 层、边界值问题与微尺度流动。
Sharipov, F., “Rarefied gas dynamics and its applications to vacuum technology”, CERN Accelerator School: Vacuum in Accelerators, CERN-2007-003, 2007, pp. 1–14. CERN 记录与 DOI。滑移、温度跳跃、孔口和管道流导的工程综述。
Sharipov, F. & Seleznev, V. D., “Data on Internal Rarefied Gas Flows”, Journal of Physical and Chemical Reference Data, 27(3), 1998, 657–706. DOI。覆盖从连续流到自由分子流的内流数据汇编。
Bird, G. A., Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Oxford University Press, 1994. Oxford Academic。分子碰撞、DSMC 和过渡流计算。
NASA Glenn，Navier–Stokes Equation；Isentropic Flow Equations；Mass Flow Choking。工程化方程和喷嘴校核。
NIST，REFPROP。高压真实气体状态方程与输运物性。
Pfeiffer Vacuum，《真空技术——专业知识手册》第 2 册，第一章，第 9～20 页。仅作为真空工程背景和图 1、9～12 的图源；对应英文手册。
Hadjiconstantinou, N. G., “The limits of Navier-Stokes theory and kinetic extensions for describing small-scale gaseous hydrodynamics”, Physics of Fluids, 18, 111301, 2006. DOI；作者公开稿。讨论 NS 适用边界、二阶滑移、Knudsen 层及低速 DSMC 的统计代价。
Hadjiconstantinou, N. G., “Validation of a Second-Order Slip Model for Dilute Gas Flows”, Microscale Thermophysical Engineering, 9(2), 2005, 137–153. DOI。二阶滑移模型与动理学计算的验证；使用结果时需保留低 Reynolds 数和 Knudsen 层修正等条件。
Bird, G. A., “Direct simulation of gas flows at the molecular level”, Communications in Applied Numerical Methods, 4 (1988), 165–172. DOI。DSMC 的分子碰撞、网格和时间步长思想。
Garcia, A. L., Bell, J. B., Crutchfield, W. Y. & Alder, B. J., “Adaptive Mesh and Algorithm Refinement Using Direct Simulation Monte Carlo”, Journal of Computational Physics, 154(1), 1999, 134–155. DOI。在可压缩 NS 求解器中嵌入 DSMC 区域的混合仿真实例。
COMSOL，The Transitional Flow Interface；Slip Flow Boundary Conditions。DVM/BGK 与滑移边界的工程实现说明。

图 2～8 为本文绘制的解析图或示意图；图 1、9～12 为真空工程资料裁图；参数及重绘方法记录在文章图片目录旁的 SOURCES.txt，对应脚本为工程中的 scripts/generate-gas-flow-figures.py。

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